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稳定点跟分界点有什么区别?怎么判断啊?数学分析的

发布时间:2019-09-11 18:23 来源:未知 编辑:admin

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  而单调区间分界点:是单调性改变的点,即分界点两边函数的单调性改变(比如左边单调增右边单调减)

  一般来说,对于可导函数,分界点都是稳定点,稳定点不一定是分界点(稳定点导数为零,但是它两侧点的导数值可能同号。

  比如y=x在x=0处,导数为0,但是x=0两边的单调性没有变化,故而不是分界点。

  而y=x,在x=0处是稳定点也是分界点),总之对可导函数来说,稳定点可能是或不是分界点(取决于稳定点两边点的导数是否异号,异号即为分界点,同号不是分界点),而分界点必然是稳定点。

  此外分界点只要是函数单调性改变的地方即可,而此点可能不可导,故而也就不是稳定点了,比如y=x^{2/3},也就是材料中第三个函数的情况,是分界点单不是稳定点。

  数学分析的研究对象是函数,它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态,从而形成微分学和积分学的基本内容。

  微分学研究变化率等函数的局部特征,导数和微分是它的主要概念,求导数的过程就是微分法。

  积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果,其基本概念是原函数(反导数)和定积分,求积分的过程就是积分法。

  牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于,他们在1670年左右,总结了求导数与求积分的一系列基本法则,发现了求导数与求积分是两种互逆的运算,并通过后来以他们的名字命名的著名公式— 牛顿-莱布尼茨公式—反映了这种互逆关系,从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科—微积分学。

  又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler))的贡献,使得本来仅为少数数学家所了解,只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法,成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法,打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门,其影响所及,难以估量。

  与积分相比,无穷级数也是微小量的叠加与积累,只不过取离散的形式(积分是连续的形式)。

  在历史上,无穷级数的使用由来已久,但只在成为数学分析的一部分后,才得到真正的发展和广泛应用。

  洛比达(L’Hospital)于1696年在巴黎出版的世界上第一本微积分教科书,欧拉于1748年出版的两卷本沟通微积分与初等分析的书,书名中都出现过无穷小分析这个词。

  在微积分学发展的初期,这种新的方法显示出巨大的力量,因而得到大批重要的成果。

  许多与微积分有关的新的数学分支,如变分法、微分方程以至于微分几何和复变函数论,都在18—19世纪初发展起来。

  然而,初期的分析还是比较粗糙的,被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演绎的逻辑根据,使用着直观的猜测和自相矛盾的推理,以致在整个18世纪,对这种方法的合理性普遍存在着怀疑。

  许多人参与了无穷小本质的论争,其中有些人,如拉格朗日(Lagrange),试图排除无穷小与极限,把微积分代数化。

  越来越多的的数学家认识到,必须把数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来。

  因而,从19世纪初开始了一个一个把分析算术化(使分析成为一种像算术那样的演绎系统)为特征的新的数学分析的批判改造时期。

  在这本书中,柯西建立了接近现代形式的极限,把无穷小定义为趋于零的变量,从而结束了百年的争论。

  在极限的基础上,柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性(后来知道,波尔查诺(Bolzano)同时也做过类似的工作)。

  进一步,狄利克雷于(Dirichlet)1837年提出了函数的严格定义,魏尔斯特拉斯引进了极限的ε-δ定义。

  基本上实现了分析的算术化,使分析从几何直观的局限中得到了“解放”,从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。

  继而在此基础上,黎曼(Riemann)于1854年和达布(Darboux)于1875年对有界函数建立了严密的积分理论,19世纪后半叶,戴德金(Dedekind)等人完成了严格的实数理论。

  至此,数学分析的理论和方法完全建立在牢固的基础之上,基本上形成了一个完整的体系,也为20世纪现代分析的发展铺平了道路。

  知道合伙人教育行家采纳数:1625获赞数:6518毕业于浙江理工大学,理学硕士,从教多年,喜钻研数学向TA提问展开全部稳定点就是导数值等于0的点(图象上看,有水平切线);而单调区间分界点:是单调性改变的点,即分界点两边函数的单调性改变(比如左边单调增右边单调减)

  一般来说,对于可导函数,分界点都是稳定点,稳定点不一定是分界点(稳定点导数为零,但是它两侧点的导数值可能同号,比如y=x在x=0处,导数为0,但是x=0两边的单调性没有变化,故而不是分界点;而y=x,在x=0处是稳定点也是分界点),总之对可导函数来说,稳定点可能是或不是分界点(取决于稳定点两边点的导数是否异号,异号即为分界点,同号不是分界点),而分界点必然是稳定点。

  此外分界点只要是函数单调性改变的地方即可,而此点可能不可导,故而也就不是稳定点了,比如y=x^{2/3},也就是材料中第三个函数的情况,是分界点单不是稳定点。

  学习数学到这时候,都要以定义概念出发,不断揣摩,理解,不能只是做题目。

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